A Study on the Optimal Interdependence Pattern of Power-Natural Gas Networks Based on Complex Networks

컴플렉스 네트워크 기반 전력-천연가스 네트워크 상호 의존 최적 패턴 연구

Abstract

Modern infrastructure networks are complex systems formed as power, transportation, communication, energy networks, which were originally independent, gradually intertwine with each other. However, the integration process of these networks mostly relies on experience and geographical environment, and there is a lack of systematic and quantitative theoretical support. This study focuses on the power-natural gas, which is the core urban infrastructure. By applying the "Interdependent Characteristic Index" algorithm, it constructs the random, homogeneous, and heterogeneous interdependent network models respectively. To compare the performance and robustness of these three interdependent patterns, an evaluation system that includes four network attack strategies and three robustness evaluation indicators is designed. The experimental results show that, when compared with the random and heterogeneous interdependent patterns, the homogeneous interdependent pattern constructed based on the "Interdependent Characteristic Index" algorithm demonstrates excellent robustness and performance in dealing with various network attacks. Through a comprehensive evaluation metric, it is confirmed that this pattern is the closest to the optimal interdependent pattern.

현대 인프라 네트워크는 원래 독립적이었던 전력, 교통, 통신 및 에너지 네트워크 등이 점차 서로 얽히면서 복잡한 시스템이 형성된다. 그러나 이 네트워크들의 통합 과정은 대부분 경험과 지리적 환경에 의존하며, 체계적이고 정량적인 이론적 지원이 부족하다. 본 연구는 전력-천연가스 핵심 도시 인프라를 대상으로 "상호 의존 특성 지표" 알고리즘을 활용하여 각각 랜덤, 동질 및 이질 상호 의존 네트워크 모델을 구축하였다. 이 세 가지 상호 의존 패턴의 성능과 견고성을 비교하기 위해 네 가지 네트워크 공격 전략과 세 가지 견고성 평가 지표를 포함하는 평가 체계를 설계하였다. 실험 결과, "상호 의존 특성 지표" 알고리즘을 기반으로 구축된 동질 상호 의존 패턴은 랜덤 및 이질 상호 의존 패턴과 비교했을 때, 각종 네트워크 공격에 대응하는데 있어 뛰어난 견고성과 성능을 보여주었다. 종합적인 평가 척도를 통해 최적의 상호 의존 패턴에 가장 근접한 것으로 확인되었다.

1. 서론

컴플렉스 네트워크(Complex Network)는 현실 세계의 다양한 복잡한 시스템을 이해하는 데 중요한 도구가 되었다. 서로 다른 모달(Modal) 속성을 가진 요소로 구성된 이러한 네트워크는 종종 서로 다른 기능을 가진 복잡한 시스템을 반영하고, 컴플렉스 네트워크 간에는 상호 의존성이 존재한다[1, 2].

상호 의존 네트워크(Interdependent Network)는 2010년에 Buldyrev등[3]이 제안한 것으로, 두 서브 네트워크의 노드 간에 일대일 상호 의존성이 존재한다는 것을 의미한다. 상호 의존 네트워크의 고장은 일반적으로 상호 의존적인 엣지의 고장 또는 일부 노드의 고장으로 인한 부하 재분배로 인해 결국 연쇄 고장이 발생하게 된다[4]. 상호 의존 패턴의 의존적 특징으로 인해 연쇄 고장이 발생하기 쉬운데, 연쇄 고장은 컴플렉스 네트워크에 전파되어 결국 전체 네트워크의 붕괴로 이어져 해당 시스템이 원래 기능을 수행하지 못할 수 있는 잠재적으로 파괴적이고 동적인 프로세스이다[5].

2019년에 유럽 위원회는 에너지 부문의 사이버 보안에 관한 권고안을 발표하면서 천연가스와 전력 시스템이 고도로 상호 연결되어 있으며 이러한 상호 작용이 잠재적 중단의 위험을 증가시키며 시스템의 취약성을 높인다. 연쇄 고장, 악의적인 공격 등은 치명적인 결과를 초래할 수 있다. 천연가스 및 전력 시스템의 공동 운영을 위한 안정적인 의존성 모델을 구축함으로써 상호 의존적인 인프라 네트워크 시스템의 전반적인 신뢰성을 향상시켜 기상이변, 기술 고장 및 악의적인 공격과 같은 운영상의 문제에 효과적으로 대응할 수 있다.

현재 인프라 상호 의존 네트워크 고장에 대처하기 위한 전략은 하드 전략과 소프트 전략으로 구분할 수 있다. 소프트 전략은 네트워크의 고유한 구조를 변경하지 않고 노드 속성을 조정하고 네트워크 용량을 늘려 연쇄 고장의 가능성과 범위를 줄이는 데 사용된다. Chen 등은 컴플렉스 네트워크에서 연쇄 고장을 처리하기 위한 소프트 전략으로 컴플렉스 네트워크 엣지의 적재 능력을 향상시키는 새로운 비선형 모델을 제안했다[6]. Zhang 등은 네트워크 제어 가능성의 관점에서 상호 의존 네트워크를 연구하고 연쇄 고장의 영향을 줄이기 위한 네트워크 노드와 상호 의존 엣지에 대한 서로 다른 중복(Redundancy) 전략을 제안했다[7].

반면에 하드 전략은 네트워크의 토폴로지를 변경하여 연쇄 고장을 방어하는 방식이다. 전통적인 엣지 추가 전략으로는 주로 랜덤 워크(Random Walk) 기반 알고리즘[8], 로우 디그리 휴리스틱(Low-degree Heuristic) 전략[9], 낮은 매개 중심성(Low Betweenness Centrality) 전략[10], 대수적 연결성 향상(Algebraic Connectivity Enhancement) 전략[11] 등과 같은 다양한 전략을 사용했다. 이러한 전략을 기반으로 Cao 등은 매개 중심성(Betweenness Centrality) 전략을 연구하여 매개 중심성이 높은 엣지를 추가하면 네트워크가 더 효율적이라는 것을 발견하였고[12], Ji 등은 노드 디그리 간 차이를 기반으로 두 가지 엣지 추가 전략을 제안하고 이러한 전략의 효과를 검증했다[13].

현재의 연구에 따르면 상호 의존 네트워크 고장에 대처하는 전략은 서브 네트워크의 내부 최적화가 아닌 시스템의 방어를 지향하기 때문에 일반적으로 하드 전략이 더 나은 선택이다.

본문의 구조는 다음과 같이, 먼저 인프라 데이터 세트를 사용하여 단일 계층 네트워크 모델을 구축한 후, 이들 단일 계층 네트워크 모델을 결합하여 상호 의존 네트워크 모델을 구축한다. 마지막으로, 상호 의존 네트워크 모델에 대한 공격 테스트와 견고성 평가를 수행한다.

2. 컴플렉스 네트워크 모델 구축

2.1 전력 네트워크 모델 구축

IEEE 118-bus System은 미국 전력 연구소(EPRI)가 뉴잉글랜드 전력 시스템을 기반으로 개발하였고, 후에 전기전자기술자협회(IEEE)에 의해 보급되어 전력 네트워크의 특징 및 성능 분석을 위한 시뮬레이션에 사용되었다. 이 모델을 기반으로, 118개의 노드와 179개의 간선(엣지)을 포함하는 전력 네트워크 모델을 구축하였다. 결합의 결과는 (그림 1)과 같이.

(그림 1) 전력 네트워크 모델

2.2 천연가스 네트워크 모델 구축

벨기에 20-노드 천연가스 시스템은 중간 규모의 천연가스 네트워크 구조를 상세하고 현실적으로 반영하고 있다. 이 네트워크 모델은 천연가스의 생산, 운송, 분배 및 소비 과정을 전반적으로 시뮬레이션할 수 있으며, 이를 기반으로 20개의 노드와 19개의 간선(엣지)을 포함하는 천연가스 네트워크 모델을 구축하였다. 결합의 결과는(그림 2)와 같이.

(그림 2) 천연가스 네트워크 모델

3. 공격 전략 및 연쇄 고장 모델

공격 전략과 연쇄 고장(Cascading Failure) 모델은 네트워크에서 발생할 수 있는 심각한 중단을 식별하고 완화하는 방법에 초점을 맞춘 네트워크 과학의 핵심 연구 분야이다.

공격 전략은 일반적으로 네트워크 구조를 교란하기 위한 방법으로 중요한 네트워크의 노드 또는 엣지를 의도적으로 제거하는 것이다. 특히 부하가 많은 노드나 엣지를 대상으로 제거하면 네트워크에 연쇄 고장이 발생하여 광범위한 서비스 중단으로 이어질 수 있다. 반면에 연쇄 고장 모델은 랜덤 고장 또는 의도적인 공격으로 인한 노드 또는 엣지의 고장을 설명하는 데 중점을 둔다.

3.1 공격 전략

본 연구에서는 랜덤 공격, 고차수(High-degree) 노드 공격, 고매개 중심성(High Betweenness Centrality) 엣지 공격이라는 세 가지 전략을 탐구하였다.

3.1.1 랜덤 공격

랜덤 공격은 랜덤 노드 공격과 랜덤 엣지 공격으로 분류할 수 있으며, 각각 네트워크의 모든 노드 또는 엣지를 랜덤으로 제거하는 공격이다. 랜덤 공격은 네트워크 구조에 대한 심층적인 이해가 필요하지 않으며, 노드나 엣지를 간단하고 직접적으로 제거하는 방식으로 수행된다.

3.1.2 고차수 노드 공격

고차수 노드 공격은 네트워크에서 가장 많이 연결된 노드, 즉 중요한 연결과 정보 흐름을 제어하는 네트워크 '허브'를 제거하기 위해 고안된 의도적인 공격전략이다. 네트워크의 노드 수를 M, 공격받은 노드 집합을 A, 공격받은 노드 수를 M_A, 노드 i에 대한 공격으로 트리거된 연쇄 고장 결함 노드 수를 M_ni로 표시한다. 그런 다음, A 세트에서 공격받은 노드로 인해 발생한 계단식 결함 엣지 수의 총 엣지 수에 대한 비율은 ζ로 표시되며, 다음과 같이 정의된다.

\(\begin{align}\zeta=\frac{\sum_{n i \in A} M_{n i}}{M_{A}(M-1)}\end{align}\)       (1)

3.1.3 고매개 중심성 엣지 공격

엣지 매개 중심성은 네트워크에서 단일 엣지의 중요성을 측정하는 네트워크 분석 지표이다. 구체적으로, 모든 노드 사이의 최단 경로에 엣지가 얼마나 자주 나타나는지 계산한다. 즉, 엣지 매개 중심성은 모든 최단 경로에 엣지가 나타나는 횟수가 총 최단 경로 수에 차지하는 비율을 나타낸다. 계산 공식은 다음과 같이 정의된다.

\(\begin{align}g(v)=\sum_{s \neq v \neq t} \frac{\sigma_{s t}(v)}{\sigma_{s t}}\end{align}\)       (2)

여기서, σ_st는 노드 s와 노드 t 사이의 최단 경로 수를 나타내며, σ_st(v)는 이 경로가 노드 v를 통과하는 횟수를 의미한다.

고차수 노드 공격 전략과 마찬가지로, 매개 중심성이 높은 엣지에 대한 제거 공격 전략은 다음 단계를 포함한다. 먼저 네트워크 초기화 후 모든 엣지의 매개 중심성 순위를 매긴다. 그런 다음 각 공격 라운드에서 매개 중심성이 가장 높은 엣지가 제거 대상으로 선택된다. 마지막으로, 동일한 매개 중심성을 가진 엣지가 여러 개 있는 경우 랜덤 선택을 통해 제거할 엣지가 결정된다.

3.2 연쇄 고장 모델

연쇄 고장 모델의 주요 매개변수에는 초기 부하, 노드 용량, 부하 재분배, 부하 증가가 포함된다. 이러한 매개변수는 고장 및 공격에 직면했을때 네트워크의 응답 속도와 복원력을 결정한다. 네트워크 복원력을 향상하고 서비스 연속성을 보장하려면 이러한 매개변수를 이해하고 최적화하는 것이 필수적이다.

3.2.1 초기 부하

초기 부하 L_i는 특정 시점의 노드 i의 부하를 나타내며, 다음과 같이 설계했다.

\(\begin{align}L_{i}=\left(\frac{1}{N-1} \sum_{j=1}^{N}\left(\min \left(\sum_{e_{i j}} d_{k}\right)\right)\right)^{\delta}\end{align}\)       (3)

여기서 e_ij는 노드 i와 노드 j 사이의 엣지 집합으로, 이 두 노드를 연결하는 모든 가능한 엣지를 포함한다. d_k는 엣지 집합 e_ij엣지 세트에서 엣지 k의 가중치로, 이 엣지의 전송 용량을 나타낸다. 부하 매개변수 δ(δ>0)는 네트워크의 부하 분포를 조정하는 데 사용되는 계수로, 네트워크의 각 노드에 대한 초기 부하 계산에 영향을 미친다. 이 매개변수의 값을 조정하여 L_i의 강도를 제어하고 실제 네트워크의 다양한 네트워크 부하 분포를 동시에 시뮬레이션할 수 있으며, N은 네트워크의 총 노드 수이며 네트워크의 크기를 나타낸다.

3.2.2 노드 용량

노드 용량 C_i는 노드 i가 처리할 수 있는 최대 부하를 나타내며, 다음과 같이 설계했다.

C_i = L_i + εL^θ_i       (4)

그 중 매개 변수 ε(ε>0)와 θ(θ>0)는 용량 매개 변수이다. 용량 매개변수를 조정하면 네트워크 용량과 부하의 다양한 비율 사이의 관계를 얻을 수 있다. 분명히, θ=1의 경우 C_i와 L_i의 관계는 선형 관계이다.

3.2.3 부하 재분배

노드 i가 공격을 받거나 고장으로 인해 과부하가 발생하면 초기 부하가 노드 i와 노드 i의 인접 노드에 재분배된다. 부하 재분배에는 두 가지 방법이 있다. 하나는 평균 분배, 즉 노드 i가 방출한 초과 부하를 노드 i의 인접 노드가 동일하게 부담하는 것이고, 다른 하나는 비평균 분배, 즉 특정 비례 선호도에 따라 부하를 인접 노드에 분배하는 것이다. 노드 i의 인접 노드 a가 부담해야 하는 추가 부하 P_ia를 다음과 같이 설계했다.

\(\begin{align}P_{i a}=\frac{C_{i}-L_{i}}{\sum_{b \in \varepsilon_{i}, j \notin \tau_{i}}\left(C_{b}-L_{b}\right)}\end{align}\)       (5)

여기서 C_i는 노드 i가 감당할 수 있는 최대 부하를 나타낸다. L_i는 노드 i의 부하를 나타낸다. τ_i의 인접 노드 집합을 나타낸다.

3.2.4 부하 증가

노드 i에 고장이 발생하면 인접 노드 a(ΔL_ia로 표시)가 추가하는 부하가 노드 a의 초기 부하에 비례하여 증가하며, 다음과 같이 설계했다.

\(\begin{align}\begin{array}{l}\Delta L_{i a}=L_{i} \times P_{i a}= \\ \left(\frac{1}{N-1} \sum_{j=1}^{N}\left(\min \left(\sum_{c_{0}} d_{k}\right)\right)\right)^{\delta} \times\left(\frac{C_{i}-L_{i}}{\sum_{b \in \tau_{i} j \notin \tau_{i}}\left(C_{b}-L_{b}\right)}\right)\end{array}\end{align}\)       (6)

부하 재분배 과정에서 노드 용량이 더 큰 인접 노드가 i로부터 더 많은 부하를 전송받게 되어 현재 네트워크에서 발생할 수 있는 연쇄 고장을 효과적으로 줄일 수 있음을 알 수 있다. (그림 3)은 부하 재부하 과정을 간략하게 보여준다. 노드 i에 고장이 발생하면 노드의 부하 L_i가 인접한 노드 a, b, c, d로 분산되므로 노드 a, b, c, d의 부하가 L_a, L_b, L_c, L_d에서 L_a+ΔL_ia, L_b+ΔL_ib, L_c+ΔL_ic, L_d+ΔL_id로 증가한다. 이 시점에서 노드 d의 부하가 자체 최대 부하(L_d+ΔL_id>C_d)를 초과하면 노드 d도 고장한다. 이 상황은 그림의 오른쪽에 표시된 것처럼 새로운 라운드의 부하 재분배를 트리거하여 연속적인 연쇄 고장으로(노드 i의 고장이 노드 d의 고장을 유발함) 이어진다. 이러한 고장이 계속 확대되면 네트워크 전체에 연쇄 반응을 일으켜 결국 전체 네트워크 고장으로 이어질 수 있다.

(그림 3) 연쇄 고장 과정

이후 시뮬레이션 과정을 용이하게 하기 위해 네트워크 연산 및 매개변수 계산 과정을 다음 단계로 설명할 수 있다.

1. 상호 의존적인 인프라 네트워크 시스템 모델을 구축한다.

2. 각 노드에 대한 초기 부하를 계산하여 집합 L에 저장한다.

3. 매개 변수 ε를 결정하고 각 노드의 용량을 계산하여 집합 C에 저장한다.

4. 공격 전략에 따라 네트워크를 공격한다.

5. 네트워크에서 고립된 노드를 스캔하여 제거한다.

6. 제거된 노드의 인접 노드에서 부하 재분배 과정을 시작한다.

7. L+ΔL>C 존재 여부를 확인하고 존재한다면 4단계로 돌아가고 존재하지 않는다면 8단계로 이동한다.

8. 네트워크 운영 주기가 종료된다.

4. 견고성 평가 방법

견고성 분석은 다양한 교란과 고장에 직면한 시스템의 복원력을 평가하는 체계적인 접근 방식으로, 잠재적인 네트워크 고장의 영향을 파악하고 네트워크 복원력을 강화하기 위한 전략을 개발하는 데 도움이 된다. 본 연구에서는 자연 연결 지표, 지리적 취약성 지표, 네트워크 효율성 지표를 인프라 종속 네트워크 모델의 견고성을 평가하는 지표로 사용한다. 이 지표들은 네트워크의 구조적 및 기능적 특성을 반영하여, 실제 상황에서의 복원력과 효율성을 정확하게 측정할 수 있게 한다.

4.1 자연 연결도 지표

자연 연결도(Natural Connectivity)는 컴플렉스 네트워크의 파괴 저항성 또는 견고성을 나타내는 중요한 지표로, 노드나 엣지가 파괴된 후에도 연결성을 유지하는 네트워크의 능력을 설명한다. 가중치가 없는 단순 그래프는 일반적으로 인접 행렬 A=(a_ij)_N×N로 표현되며, 여기서 a_ij는 노드 i와 노드 j 사이의 연결 강도이고, a_ij=0이면 두 노드 사이에 연결이 없음을 의미한다. A의 고유치 λ₁≥λ₂≥⋯≥λ_N를 그래프의 고유 스펙트럼이라고 한다. 랜덤 행렬 이론에 따르면, A의 상위 제곱에 Aⁿ있는 요소는 여러 엣지를 통해 두 노드를 연결하는 경로의 수를 반영한다. 따라서 노드 간의 파괴 저항은 주로 대체 경로의 중복성에 의해 제공된다. 그래프에서 가능한 모든 폐루프 경로의 수를 나타내는 네트워크의 파괴 저항의 주요 척도는 인접 행렬의 고유값의 합으로, 다음과 같이 정의된다.

\(\begin{align}\eta=\ln \left(\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} e^{\lambda_{i}}\right)\end{align}\)       (7)

여기서, e는 자연로그의 기저를 나타내고, λ_i는 네트워크 인접 행렬의 i째 고유치를 나타내며, N은 네트워크의 총 노드 수이다. 자연 연결도는 네트워크 내 노드 간의 중복 경로를 분석하여 경로 폐쇄 루프를 계산하는 방법이다. 이 지표의 값이 높을수록 대체 경로가 더 많이 존재하기 때문에 네트워크가 파괴되지 않아 네트워크의 견고성과 안정성이 향상된다는 것을 의미한다.

4.2 측지선 취약성 지표

측지선 취약성(Geodesic Connectivity)은 전력, 천연가스 등 상호 의존적인 에너지 인프라의 취약성을 평가하는 데 사용된다. 측지선 취약성 지표는 최단 경로를 분석하여 인프라의 견고성을 평가한다. 평가는 일반적으로 노드의 연결을 끊은 다음 연쇄 고장을 시뮬레이션하여 토폴로지의 성능을 테스트하여 각 노드의 성능을 전체적으로 파악하고, 연쇄 고장으로 인한 피해 정도를 계산하여 시스템의 전반적인 견고성을 평가하는 것으로 시작된다. 측지선 취약성 지표(κ)는 측지 효율을 정규화하여 노드 제거 프로세스의 균형을 맞추며, 다음과 같이 정의된다.

\(\begin{align}x=1-\frac{\sum_{i \neq j} \frac{1}{d_{i j}^{L C}}}{\sum_{i \neq j}\left(\frac{1}{d_{i j}^{B C}}\right)^{\prime}}\end{align}\)       (8)

여기서, d^LC_ij는 노드를 제거한 후 스케일 프리 네트워크에서 노드 간의 측지 거리를 나타내고, d^BC_ij는 스케일 프리 네트워크에서 노드 간의 원래 측지 거리를 나타낸다. 측지 거리는 두 노드 사이의 최단 경로 길이로 정의되며, 두 노드 사이를 통과해야 하는 최소 노드 수를 계산하여 구할 수 있다. 측지선 취약성 지표(κ)는 0에서 1 사이의 값을 취하며, 값이 클수록 상호 의존적인 네트워크에 미치는 영향이 더 커진다[3].

4.3 네트워크 효율성 지표

네트워크 효율성(Network Communication Efficiency)은 네트워크에서 정보 전송 또는 흐름의 효율성을 설명하는 중요한 지표로, 네트워크의 성능을 여러 차원에서 평가할 수 있다. 네트워크 효율성은 일반적으로 네트워크 내 노드 간 경로의 효율성과 전체 네트워크의 전반적인 운영 효율성을 측정하는 데 사용된다. 그래프 이론과 컴플렉스 네트워크 분석에서 네트워크 효율성은 노드 또는 엣지 고장과 같은 구조적 변화에 직면했을 때 네트워크의 견고성을 평가하는 핵심 지표이다. 연결성이 높을수록 네트워크 효율성이 높아진다. 네트워크 연결성이 높을수록 효율성 ŋ이 증가하며, 이는 다음과 같이 정의된다.

\(\begin{align}\eta=\frac{1}{N(N-1)} \sum_{v_{i} \neq v_{j} \in V} \eta_{i j}\end{align}\)       (9)

\(\begin{align}\eta_{i j}=\frac{1}{d_{i j}}\end{align}\)       (10)

여기서 ŋ_ij는 노드 V_i와 노드 V_j 노드 간의 효율을 나타내고 d_ij는 노드 V_i와 노드 V_j 사이의 최단 경로 길이를 나타내며, N은 네트워크의 총 노드 수를 나타낸다. 노드 또는 엣지 제거로 인한 네트워크 효율성 감소율은 μ로 표시되며, 다음과 같이 정의된다.

\(\begin{align}\mu=1-\frac{\eta^{\prime}}{\eta_{0}}\end{align}\)       (11)

여기서 ŋ'는 노드(엣지)를 제거한 후의 네트워크 효율성이고 ŋ₀는 네트워크의 초기 효율성이다. μ의 값이 클수록 제거된 노드 또는 엣지가 네트워크에서 더 중요하다는 것을 의미한다.

5. 상호 의존 네트워크 모델 구축 및 견고성 평가

인프라 네트워크 시스템 간의 의존성이 계속 심화됨에 따라 다양한 유형의 서브 네트워크, 의존성의 형태와 강도, 다양한 공격의 영향을 받는 상호 의존 네트워크의 동작을 분석하고, 서브 네트워크, 서브 네트워크 간의 상호 의존 엣지, 상호 의존적 패턴이라는 상호 의존 네트워크의 세 가지 주요 핵심의 구성 요소를 자세히 연구함으로써 보다 안정적인 인프라 네트워크 시스템을 설계할 수 있다.

5.1 상호 의존 특징 지표

노드의 차수와 근접 중심성 특징을 결합하여 새로운 네트워크 상호 의존 특징 지표를 다음과 같이 설계했다.

\(\begin{align}\begin{array}{l}\varphi_{i}=\alpha\left[\frac{\sum_{j=1}^{N} a_{i j}-\min \left(\sum_{j=1}^{N} a_{i j}\right)}{\max \left(\sum_{j=1}^{N} a_{i j}\right)-\min \left(\sum_{j=1}^{N} a_{i j}\right)}\right]+ \\ (1-\alpha)\left[\frac{\frac{1}{\sum_{j=1}^{N} d i s(i, j)}-\min \left(\frac{1}{\sum_{j=1}^{N} \operatorname{dis}(i, j)}\right)}{\max \left(\frac{1}{\sum_{j=1}^{N} \operatorname{dis}(i, j)}\right)-\min \left(\frac{1}{\sum_{j=1}^{N} \operatorname{dis}(i, j)}\right)}\right]\end{array}\end{align}\)       (12)

여기서 i, j, l은 노드, a는 방향성과 가중치가 없는 컴플렉스 네트워크의 인접 행렬, N은 네트워크의 총 노드 수, dis(i, j)는 노드 i와 노드 j 사이의 거리를 나타낸다.

이 공식은 '상호 의존 특징 지표'의 측정값으로 차수와 근접 중심성을 선택하고 Min-Max 정규화 방법을 사용한다. 가장 일반적으로 사용되는 세 가지 정규화 방법은 Min-Max 정규화, Z-score 정규화, 최대 절대값 정규화이다. 전력 및 천연가스 네트워크의 노드 차수 및 기타 특징은 일반적으로 정규 분포를 따르지 않는 멱법칙 분포(Long-tail Distribution)를 나타내므로 Z-score를 사용하지 않았다. 최대 절대값 정규화는 이상값에 민감하며 특징 간의 크기 차이를 제거하지 못하므로 지표로 적합하지 않다고 판단하였다.

차수 중심성은 노드의 국부적 연결성을 직관적이고 효과적으로 보여주고, 근접 중심성은 전체 네트워크에서 노드의 전략적 위치와 정보 전파의 효율성을 평가한다. Min-Max 정규화를 통해 데이터를 동일한 범위(보통 0에서 1)로 확장하여 스케일 차이를 없애고 서로 다른 특징을 공정하게 비교하고 결합했다. 엣지 매개 중심성은 매개 계산 결과에 영향을 미치지 않는다. 계산의 간소화를 위해 식에 추가하지 않았다.

이 알고리즘을 이용하여 네트워크 내의 모든 노드를 순회하고, 각 노드의 특징 지표 값을 계산한 후, 이 지표 값의 높고 낮음에 따라 노드를 두 그룹으로 분류하였다. 상호 의존 네트워크의 노드 연결 원칙은 다음과 같다.

랜덤 상호 의존 네트워크에서는 두 네트워크에서 각각 무작위로 한 노드를 선택하여 연결한다. 동질 상호 의존 네트워크에서는 두 네트워크에서 특징 지표 값이 가장 높은 노드를 각각 선택하여 연결한다. 이질 상호 의존 네트워크에서는 한 네트워크에서 특징 지표 값이 가장 높은 노드를, 다른 네트워크에서 특징 지표 값이 가장 낮은 노드를 선택하여 연결한다.

5.2 상호 의존 네트워크 모델 구축

전력-천연가스 네트워크는 전력 네트워크 계층과 천연가스 네트워크 계층으로 구성된 이중 계층 구조였다.

위에서 언급한 상호 의존 네트워크의 노드 연결 원칙을 적용하여 구축된 전력 네트워크 모델과 천연가스 네트워크 모델을 연결했다. 랜덤 상호 의존 엣지 연결 방법을 통해 전력 네트워크의 발전 노드와 천연가스 네트워크의 부하 노드 간에 일대다 연결을 구현했다. 선택한 상호 의존 엣지는 <표 1>에 제시되어있다. 연결 결과는 (그림 4)에 나타나 있다.

<표 1> 랜덤 상호 의존 네트워크 엣지 연결 방식

(그림 4) 랜덤 상호 의존 네트워크 모델

여기서 'Gas'는 천연가스 네트워크를, 'Power'는 전력 네트워크를 나타내고 파란색 실선은 천연가스 네트워크 또는 전력 네트워크의 엣지를 나타내며, 빨간색 점선은 천연가스 네트워크와 전력 네트워크 간의 상호 의존 엣지를 나타낸다.

전력 네트워크에서 상호 의존 특징값이 가장 높은 10개 노드와 가장 낮은 10개 노드의 순위는 <표 2>에 나와 있다.

<표 2> 전력 네트워크 노드 상호 의존 특징값

천연가스 네트워크에서 상호 의존 특징값이 가장 높은 10개 노드와 가장 낮은 10개 노드의 순위는 <표 3>에 나와 있다.

<표 3> 천연가스 네트워크 노드 상호 의존 특징값

마찬가지로 위에서 언급한 상호 의존 네트워크의 노드 연결 원칙을 적용하여 동질과 이질 상호 의존 엣지 연결 방법을 통해 전력 네트워크의 발전 노드와 천연가스 네트워크의 부하 노드 간에 일대다 연결을 구현했다.

동질 상호 의존 네트워크 모델 선택한 상호 의존엣지는 <표 4>에 제시되어 있다. 연결 결과는 (그림 5)에 나타나 있다.

<표 4> 동질 상호 의존 네트워크 엣지 연결 방식

(그림 5) 동질 상호 의존 네트워크 모델

이질 상호 의존 네트워크 모델 선택한 상호 의존엣지는 <표 5>에 제시되어 있다. 연결 결과는 (그림 6)에 나타나 있다.

<표 5> 이질 상호 의존 네트워크 엣지 연결 방식

(그림 6) 이질 상호 의존 네트워크 모델

5.3 다중 공격 하에서 상호 의존 네트워크의 견고성 평가

랜덤 노드 공격, 고차수 노드 공격, 랜덤 엣지 공격, 고매개 중심성 엣지 공격 방법에 따라 전력-천연가스의 동질, 이질 및 랜덤 상호 의존 네트워크 모델에 각각 공격을 수행하였다. 세 가지 네트워크의 견고성을 평가하기 위해 세 가지 지표, 즉 자연 연결도 지표, 측지선 취약성 지표, 네트워크 효율성 지표를 사용하여 랜덤 노드 공격 시의 성능을 계산 및 분석하였으며, 그 결과는 (그림 7)부터 (그림 11)까지 나타냈다.

(그림 7) 랜덤 노드 공격 시 자연 연결도

(그림 8) 랜덤 노드 공격 시 측지선 취약성, 네트워크 효율성

(그림 9) 고차수 노드 공격 시 자연 연결도, 측지선 취약성, 네트워크 효율성

(그림 10) 랜덤 엣지 공격 시 자연 연결도, 측지선 취약성, 네트워크 효율성

(그림 11) 고매개 중심성 엣지 공격 시 자연 연결도, 측지선 취약성, 네트워크 효율성

그림에서 빨간색 실선 'TZ'는 동질 상호 의존 네트워크 모델의 변화 곡선을, 녹색 실선 'YZ'는 이질 상호 의존 네트워크 모델의 변화 곡선을, 파란색 실선 'SJ'는 랜덤 상호 의존 네트워크 모델의 변화 곡선을 나타낸다. 가로 좌표 'No.n'은 제거된 노드 수를 표시하며, 세로 좌표는 다양한 지표값을 나타낸다. 그들 중에서 'NC'는 자연 연결도, 'GC'는 측지선 취약성, 'CE'는 네트워크 효율성을 각각 표시한다.

다음은 (그림 7)에 대해 간략하게 설명한다. 그림에서는 10개 노드 연속 랜덤 노드 공격 시 전력-천연가스 시스템의 네트워크 자연 연결도 지표 변화를 보여 준다. 그림에서 공격이 전에는 랜덤 상호 의존 네트워크의 자연 연결도가 가장 크고 이질 상호 의존 네트워크의 자연 연결도가 가장 작다는 것을 알 수 있다. 10번의 랜덤 공격 후 동질 상호 의존 네트워크의 자연연결도는 최대이고 랜덤 상호 의존 네트워크의 자연연결도는 최소이다. 또한 동질 상호 의존 네트워크 모델은 랜덤 공격에서 변화 곡선의 기울기 절대값이 가장 낮고 랜덤 상호 의존 네트워크 모델은 기울기 절대값이 가장 크다. 이는 이 지표에서 동질 상호 의존 패턴에서 전력-천연가스 상호 의존 네트워크가 가장 안정적이며, 이질 상호 의존 네트워크 모델이 그 뒤를 잇는 반면 랜덤 상호 의존 패턴에서 전력-천연가스 상호 의존 네트워크 견고성이 가장 취약함을 보여준다.

5.４ 상호 의존 패턴이 네트워크 견고성에 미치는 영향 분석

최소제곱법을 사용하여 전력-천연가스 상호 의존 네트워크 모델의 36개의 실험 결과 곡선에 대해 선형회귀를 수행하였다. 최소제곱법은 수학적 최적화 기법이다. 오차의 제곱 합을 최소화하여 데이터에 가장 잘 맞는 함수를 찾으며, 일반적으로 곡선 적합에 사용된다. 선형 적합은 다음과 같이 정의된다[4].

\(\begin{align}\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i} y_{i}-n \overline{x y}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}^{2}-n \bar{x}\right)^{2}}\end{align}\)       (13)

여기서 \(\begin{align}\hat {b}\end{align}\)는 선형 식 \(\begin{align}y=\hat {b}x + b_0\end{align}\)의 기울기이며 \(\begin{align}\bar {x}\end{align}\)는 x의 산술 평균값, 즉 \(\begin{align}\bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}\end{align}\).

분석 결과는 (그림 12)에 나타냈다. 가로 좌표 'GDS-GC', 'GDS-CE', 'GDS-NC'는 각각 고차수 노드 공격에 따른 측지선 취약성, 네트워크 효율성, 자연 연결성 지표 곡선의 적합 기울기를 나타내며, 'SJD-GC', 'SJD-CE', 'SJD-NC'는 램턴 노드 공격에 따른 해당 지표의 기울기를 나타낸다. 또한 'ZDB-GC', 'ZDB-CE', 'ZDB-NC'는 고매개 중심성 엣지 공격에 대응하는 지표들의 기울기이며, 'SJB-GC', 'SJB-CE', 'SJB-NC'는 랜덤 엣지 공격의 영향을 나타낸다.

(그림 12) 랜덤, 동질 및 이질에 대한 상호 의존 네트워크 공격 곡선의 기울기 적합도

(그림 12)에서 'SJ'는 랜덤 상호 의존 패턴에서 전력-천연가스 상호 의존 네트워크를, 'TZ'는 동질 상호 의존 패턴에서 전력-천연가스 상호 의존 네트워크를, 'YZ'는 이질 상호 의존 패턴에서 전력-천연가스 상호 의존 네트워크를 나타내며, 'SJ-M'은 곡선 'SJ'의 평균값을, 'TZ-M'은 곡선 'TZ'의 평균값을, 'YZ-M'은 곡선 'YZ'의 평균값을, 'YZ-M'은 곡선 'YZ'의 평균값을 나타낸다.

'동질', '이질', '랜덤' 상호 의존성 패턴이 네트워크 견고성에 미치는 영향을 비교한 결과, 동질 상호 의존성 네트워크는 네 가지 공격에서 12개의 견고성 지표 곡선의 기울기 평균값이 가장 낮고 이질 상호 의존성 네트워크는 동질 상호 의존 네트워크보다 기울기 평균값이 약간 높은 반면 랜덤 상호 의존 네트워크의 기울기 평균값이 동질 및 이질 상호 의존 네트워크 모두보다 훨씬 높다는 것을 알 수 있다. 견고성 지표 곡선의 기울기 평균이 낮을수록 네트워크가 안정적이라는 것을 의미하므로, 본 연구에서 제안한 상호 의존 지표를 기반으로 생성된 동질 및 이질 상호 의존 패턴이 일대다 상호 의존 네트워크의 견고성을 효과적으로 개선할 수 있음을 시사한다.

한편, 12개의 견고성 지표 중 5개 지표는 이질 상호 의존 네트워크의 기울기가 동질 상호 의존 네트워크보다 낮고, 7개 지표는 동질 상호 의존 네트워크보다 높은 것으로 나타났다. 이는 본 논문에서 구축한 전력-천연가스 상호 의존 네트워크의 경우 동질 상호 의존 네트워크 모델이 이질 상호 의존 네트워크 모델보다 네트워크의 안정성을 향상시키는 데 더 도움이 된다는 것을 나타낸다.

6. 결론

본 연구에서는 전력 - 천연가스 인프라 상호 의존 시스템의 네트워크 모델을 구축하였다. 이 시스템에서 전력 네트워크의 발전 노드와 천연가스 네트워크의 부하 노드가 일대다 방식으로 연결된다. 또한, 상호 의존 인프라 네트워크 시스템에 대한 연쇄 고장 모델을 설계하였다. 이 연쇄 고장 모델에서는 네트워크 노드를 대상으로 하여 노드의 초기 가중치와 용량에 따라 네트워크 부하를 재분배한다.

마지막으로, 해당 상호 의존 네트워크를 연구 대상으로 삼아 랜덤, 동질, 이질 상호 의존 네트워크 모델을 각각 테스트하였다. 테스트에서는 랜덤 노드 공격, 고차수 노드 공격, 랜덤 엣지 공격, 고매개 중심성 엣지 공격의 네 가지 네트워크 공격 방법과 자연 연결도 지표, 측지선 취약성 지표, 네트워크 효율성 지표라는 세 가지 네트워크 견고성 평가 지표를 사용하였다. 이를 통해 본 연구에서 제안한 동질 상호 의존 패턴이 일대다 상호 의존 인프라 네트워크 시스템 개선 효과를 검증하였다.