Algorithm to decide Minimum New Store Positioning with Maximum Competitiveness

최대 경쟁력을 갖는 최소 신설 점포위치 결정 알고리즘

Abstract

We will be establish the new $q(1{\leq}q{\leq}p-1)$ stores of firm $F_B$ to gain pop/(p+q) over rival firm $F_A$ that has already operate with p stores in a city of population pop. Han proposes inclusion-exclusion algorithm(IEA) that searches maximal pop top 5 location and select the maximum location take account of locate variation with increasing of $q=1,2,{\cdots},p-1$. This paper reduced the orignal graph into partial graph initially and search only q=1 node continually reduced in accordance with increasing $q=1,2,{\cdots},p-1$. If the final result is shown in the case of steel customer between q, the q locations farther separate in order to improve of solution. For the eleven experimental data, this algorithm is a relative simplicity and more optimal solution than Han's IEA.

고객 수 pop인 도시에 경쟁업체 $F_A$가 p개 점포를 운영하고 있는 경우, 신규 업체 $F_B$가 $q(1{\leq}q{\leq}p-1)$점포를 신규 개설하고자 한다. 이 경우 pop/(p+q)이상의 고객을 확보할 수 있는 q개 점포 위치를 결정해야 한다. 이 문제에 대해 Han은 포함-배제 알고리즘을 제안하였으며, $q=1,2,{\cdots},p-1$로 증가하면서 이전에 확정된 위치가 변경되는 경우를 고려하여 최대 고객 확보 상위 5개 지점을 선택하여 이들 중 최대 고객 확보 지점으로 결정하였다. 본 논문에서는 초기상태부터 탐색범위를 축소시키고, $q=1,2,{\cdots},p-1$로 증가하면서도 계속적으로 탐색 범위를 축소시키면서 q=1 한 노드에 대해서만 계속 노드를 추가하는 방법을 제안한다. 최종적으로 얻은 q 상호간에 시장을 서로 빼앗는 경우가 발생하면 보다 멀리 떨어트리는 방법으로 해를 개선하였다. 제안된 알고리즘을 11개 사례에 적용한 결과 Han 알고리즘에 비해 단순하면서도 보다 좋은 결과를 얻었다.

Ⅰ. 서론

n개 교차로 지점(노드)으로 복잡하게 얽혀 있는 한 도시에 인구 pop(population)명이 거주하고 있다. 이 도시에 동일 업종 경쟁업체 F_A가 기존에 p개의 점포를 운영하여 도시 전체 주민 수 pop명을 독점하고 있다. 이 상황에서 동일 업종 동일 경쟁력과 제품 인지도를 갖는 업체 F_B가 신규로 q(1≤q≤p-1)개의 점포를 개설하여 \(\frac{p o p}{p+q}\)이상의 고객을 확보하고자 한다.^[1] 기존 연구는 대부분 p=q로 동일 점포수를 개설하는 경우를 연구하였으나, 본 논문은 p>q인 경우를 고려한다. 본 논문은 이 상황에서 어느 위치에 F_B의 q개의 점포를 개설하는 것이 최적인지를 결정하는 문제를 다룬다.

이 문제에 대해, Colomé et al.^[1]은 정확한 해를 다항시간으로 구하는 알고리즘이 알려져 있지 않다는 가정 하에 Ant System+Tabu Search의 하이브리드형 메타휴리스틱 기법을 적용하여 해를 구하고자 하였다. Han^[2]은 다항 시간으로 해를 구하는 규칙을 찾고자 하였다. 이를 위해 q=1,2,...,p-1로 증가시키면서 해를 구하는 구성법(constructive method)을 제안하였다. 이 문제는 q가 증가할수록 선택된 위치들과의 근접 거리로 인해 F_A의 경쟁업체 고객을 빼앗기보다는 F_B 업체 자신의 고객을 빼앗은 경우가 발생하여 기존에 확정된 위치가 변경되는 문제점을 갖고 있다. 이에 따라 Han^[2]은 최대 고객 확보 상위 5개 위치 각각에 대해 q개를 선정하고, 이들 중 최대 고객 확보 위치로 결정하는 경쟁방법을 적용하였다. 즉, n-p개 노드에 대해 단 1회만 수행하는 것이 아니라 5회를 반복 수행하는 방식이다. 또한, 이 방법은 최적 해를 구하지 못하는 경우도 발생하였다.

본 논문에서는 n-p개 노드를 대상으로 하지 않고, q의 후보위치가 될 수 있는 보다 적은 노드를 추출하여 탐색 범위를 축소시킨다. 이 축소된 그래프에 대해 Han^[2]의 5개 위치에 대한 다중 경로 탐색(multiple path search)이 아닌 단일 경로 탐색(single path search)법을 제안하여 Han^[2] 알고리즘에 비해 보다 단순하면서도 보다 최적해를 찾는 방법을 제안한다. 2장에서는 Han^[2] 알고리즘의 문제점을 고찰한다. 3장에서는 Han^[2] 알고리즘에 비해 단순하면서도 정확한 해를 찾는 알고리즘을 제안한다. 4장에서는 제안된 알고리즘을 적용하여 알고리즘 적합성을 검증하여 본다.

Ⅱ. 관련 연구와 문제점

그림 1은 Colomé et al.^[1], Han^[2], Serra와 Revelle^[3], Choi et al.^[4], Lee et al.^[5] 와 Lee.^[6,7]이 신설 점포 위치를 결정하는데 사용한 Swain-55 노드 망으로 pop=3,575이다.

그림 1. Swain 도시 망

Fig. 1. Swain-55 network

그림 2는 Han^[2]이 q=1,2,...,p-1로 증가시키면서 해를 구하는 포함-배제 알고리즘(inclusion-exclusion algorithm, IEA)이다. 이 알고리즘은 가장 인접한 노드 점포로 고객이 찾아간다는 가정 하에, 그림 1의 n=55개 노드들 중 q는 p와 동일한 노드에 위치하면 보다 많은 고객을 확보할 수 없다고 가정하고, n-p=55-5=50개 노드를 대상으로 p=5개 노드가 존재하는 상황에서 각 노드의 점유율(확보 고객 수)을 구하여 q위치를 구하는 방법이다. 단, q가 증가할수록, 기존에 선정된 위치가 변동이 될 수도 있고 안될 수도 있기 때문에 상위 5개 위치를 대상으로 해를 구하여 가장 많이 확보한 위치를 결정하는 방법을 채택하였다.

그림 2. 포함-배제 알고리즘

Fig. 2. Inclusion-exclusion algorithm(IEA)

F_A={5,17,31,38,41}과 F_A={6,22,25,31,38}에 대해 Han^[2]의 IEA를 수행하는 과정은 표 1에 제시하였다. F_A={5,17,31,38,41}의 경우, F_B={9}→{9,32}→{9,32,1 }→{9,32,1,49}로 기존에 확정된 노드들이 변경없이 새로운 노드가 추가되는 현상을 보여주고 있다. 반면에 F_A={6,22,25,31,38}의 경우, F_B={2}→{2,10}→{2,10, 17}→{10,17,30,4} 또는 {10,17,30,9}로 q=3에서 q=4로 변경될 때 {2}가 제외되고 {10,4} 또는 {10,9}가 추가되는 현상을 나타내고 있다. 여기서, 또 한 가지 발생하는 문제점은 F_A={5,17,31,38,41}에 대한 F_B={9,32,1}, 1371(38.35%)가 최적 해가 되지 않는다는 점이다. 이 경우의 최적 해는 {9,32,49}, 1412(39.50%)이다. 따라서 Han^[2]의 IEA는 최적 해를 구하지 못할 수도 있는 단점을 갖고 있으며, q=1에서 최대 고객 확보 노드로 확정된 1개 노드를 기준으로 탐색하는 것이 아니라 Top 5의 5개 노드를 기준으로 5배 많은 횟수를 탐색하는 단점도 갖고 있다.

표 1. IEA 알고리즘 수행 사례

Table 1. Result case of IEA algorithm

Ⅲ. 범위 축소 구성 알고리즘

본 장에서는 F_B의 q(1≤q≤p-1)개 점포 위치를 결정하기 위해 주어진 도시의 노드 n=55개 전체를 대상으로 하지 않고, 사전준비 단계에서 이를 축소하는 기법을 적용한다.

사전준비단계에서는 그림 3과 같이 주어진 그래프에서 최소신장트리(minimum spanning tree, MST)를 구하여 최외곽 단 노드를 연속적으로 제외시킨 부분 그래프를 얻는다. 따라서 n=55에서 확보 고객 수가 적어 점포 운영이 불가한 {12,14,21,23,24,26,27,28,35,37,39,40,46,50,51,52,54}의 17개 노드가 제외되었다. 결국, 제안된 알고리즘은 n=55를 대상으로 하지 않고 n′ =38개만을 고려한다. 다음으로, F_A의 p=5개 위치를 제외하면 F_B의 후보 위치 개수는 33개로 축소된다.

그림 3. 축소된 탐색 범위

Fig. 3. Reduced search area

본 장에서 제안되는 알고리즘은 구성 알고리즘(constructive algorithm, CA)으로 q=1,2,...,p-1순서로 다음과 같이 결정한다.

Step 1. F_A의 p개 점포가 운영되고 있는 상황에서, 최대 고객 확보 위치를 q=1의 첫 번째 노드로 결정한다.

u∈F_A, v∈F_B라 하고, N_G(V)노드를 삭제한다. 또한,N¹_G(u),N²_G(u)인 u의 2근방 노드들에 대해 u의 확보 고객 수 c(u)의 c(u)/2 미만인 노드를 삭제한다. 단, w=N¹_G(u₁)∩N²_G(u₂)인 경우 c(u₁)/22)/2이면 u₁을 적용한다. 이와 같이 하여 q=2부터 탐색 대상을 보다 축소시킨다.

Step 2. F_A의 p개 점포와 F_B의 q-1개 점포가 운영되는 상황에서, q=2,3,...,p-1에 대해 최대 고객 확보 위치를 q번째 점포 위치로 결정한다. 이때, 2번째로 많은 고객을 확보한 위치 v와 q번째 점포 위치로 인해 q=1,2,...,q-1번째 위치 w의 확보 고객 수가 감소하면, w를 N_G(w)또는 v로 이동시킬 경우 보다 많은 고객을 확보할 수 있으면 이들 노드로 위치를 변경한다.

제안된 알고리즘인 CA를 F_A{5,17,31,38,41}인 경우에 대해 적용한 과정은 그림 4에 제시되어 있다.

그림 4. F_A={5,17,31,38,41}에 대한 CA

Fig. 4. CA for F_A={5,17,31,38,41}

제안된 CA는 q=1에서 n=38-5=33개 노드에 대해 확보 고객 수를 계산하여 {9}를 결정하였으며, q=2에서는 14개 노드에 대해 다시 계산하여 {9,32} 또는 {9,34}를 결정하였다. p=3에서는 8개 노드를 대상으로 최대 고객 확보를 한 {49}가 추가되어 {9,32,49}가 되었으며, 여기서{49}가 추가되어도 {9,32}는 확보 고객 수가 변동되지 않음을 알 수 있다. p=4에서 7개 노드들 중에서 {1} 노드가 추가되었으며, 이로 인해 {9} 노드의 확보 고객 수가 감소되었다. 따라서 {9}와 교환 가능한 노드가 있는지 여부를 검증하기 위해, {9}의 N_G(9)={10,6,42}에 대해 추가확보 고객 수를 계산한 결과 344, -25와 -202.5를 나타내{9}를 이동시킬 수 있는 노드가 존재하지 않아 {9,32,49,1}로 최종 확정되었다.

Ⅳ. 알고리즘 적용 및 결과 분석

본 장에서는 표 2의 11개 데이터인 F_A(p=5)인 경우 F_B를 CA로 구하고, Han^[2]의 IEA와 결과를 비교하였다. 여기서 마지막 2개 데이터인 {6,8,13,16,31}과{4,21,22,36,38}은 p=q에 대한 Lee et al.^[5]의 결과이다.

표 2. F_A(p=5)에 대한 F_B(1≤q≤p-1)

Table 2. F_B(1≤q≤p-1)about F_A(p=5)

표 2의 44개 경우 수를 분석한 결과, F_A={6,8,13,16,31}, F_B(q=1)을 제외한 43개 데이터에 대해 F_B점포들은 pop/(p+q)이상의 고객을 확보하는 결과를 얻었다. 또한, q=p 대신 q=p-1개 점포만을 개설하고도 시장을 과반수(50%) 이상 확보한 경우는 11개 중 6개로 나타나 굳이 1개 점포를 추가로 개설하지 않고도 효과를 극대화시킬 수 있음을 알 수 있다.

다음으로, 각 점포는 확보한 고객 수가 요구 한계 수준(demand threshold level, T) 이상을 충족시켜야만 점포 운영비용을 제외하고 이득을 남길 수 있어 점포를 계속 운영할 수 있으며, 그렇지 못하면 점포를 운영하면 할수록 매출급감에 따른 계속적인 적자로 인해 점포는 폐업한다(문을 닫는다)고 가정한다. 이 경우 Serra et al.^[8]은 식 (1)의 T를 제시하였다

\(T=0.8 \frac{p o p}{p+q}\)       (1)

식 (1)에 의거 결국에는 폐쇄되는 점포를 구한 결과는 표 3에 제시되어 있다. 11개 F_A위치에 따른 q=1,2,3,4 44개 데이터에 대해, 모든 경우에 T이하가 되는 점포들이 폐쇄되는 현상을 발견할 수 있었으며, 이 경우 F_B의 일부 데이터인 9개에 대해 특정 점포가 고객을 확보하지 못하고 있음을 알 수 있다. 이들 점포는 F_A 점포가 폐쇄될 때까지 적자를 내지만 계속 운영한다면 F_A 점포 폐쇄 이후에는 흑자로 반전시킬 수 있음을 알 수 있다.

표 3. T=0.8xpop/(p+q)에 따른 폐쇄 점포

Table 3. Closed stores follow with T=0.8xpop/(p+q)

마지막으로, F_A점포들은 T=0.8xpop/(p+q)이하에서 동시에 폐쇄되는 것이 아니라 적자가 많은 점포부터 점진적으로 폐쇄된다고 가정하여 T=0.7xpop/(p+q)에서 폐쇄되는 점포로 인해 다른 점포들이 시장을 재분배하는 경우를 고려해 본 결과는 표 4에 제시되어 있다. 이 경우 계속 적자를 나타내는 점포는 44개 데이터 중에서 3개로 감소하였다. 그러나 이 경우에도 추가적으로 F_A가 폐쇄될 점포가 반드시 존재하여, F_A가 추가로 폐쇄될 때까지만 견디면 생존이 가능할 것이다.

표 4. T=0.7xpop/(p+q)에 따른 조기 폐쇄 점포

Table 4. Soon closed stores follow with T=0.7xpop/(p+q)

본 논문에서 제안된 알고리즘으로 1≤q≤p-1을 구하여 q개 신규 점포 개설 비용 대비 pop×q/(p+q)또는T=0.7×pop/(p+q)에 따른 이득을 적용하여 적절한 q개 점포를 결정할 수 있을 것이다.

Ⅴ. 결론

본 논문에서는 동종업계 F_A가 p개 점포를 운영하고있는 상황에서, F_B가 q(1≤q≤p-1)개 점포로 p개 이하로 신규 개설하면서도 pop/(p+q)이상의 고객을 확보할 수 있는 신설 점포 위치 q개를 구하는 방법을 연구하였다.

이 문제에 대해 기존의 방법은 다항시간으로 해를 구하는 규칙을 찾지 못해 메타휴리스틱 기법을 적용하거나 정확한 위치를 선정하지 못해 최대 고객 확보 위치 상위 5개 지점 각각을 기준으로 찾는 방법을 제안하였다. 그러나 이 알고리즘은 최적 해를 찾지 못하는 단점을 갖고 있어 완벽한 알고리즘이라고 할 수 없다.

본 논문에서는 주어진 대상 도시의 노드들 n개 중에서 pop/(p+q)이상의 고객을 확보할 수 없는 후보 위치가 되지 못하는 노드들을 최소신장트리를 구하여 제외시켜 탐색 대상을 축소하였다. 축소된 그래프의 노드들 n′를 대상으로 F_A의 p개 점포가 존재하는 경우 n′╲p개 노드들 중에서 F_B의 첫 번째 위치(q=1)로 최대 고객 확보지점을 선정하였다. 이후 N¹_G(p),N²_G(p)들 중에서 e(p)/2인 노드들과 N_G(q)를 제외시켜 탐색 대상 노드들을 축소시켜 이들 중에서 q=2,3,...,p-1개를 구하고, 만약 q 노드들 간에 고객을 서로 빼앗는 경우 상호간에 보다 멀리 떨어진 곳으로 이동시켜 해를 개선하는 경우를 고려하였다.

제안된 알고리즘을 11개 F_A 위치에 대해 적용한 결과 Han^[2]의 IEA에 비해 보다 좋은 결과를 얻었다.