Distributed Algorithm for Maximal Weighted Independent Set Problem in Wireless Network

무선통신망의 최대 가중치 독립집합 문제에 관한 분산형 알고리즘

Abstract

This paper proposes polynomial-time rule for maximum weighted independent set(MWIS) problem that is well known NP-hard. The well known distributed algorithm selects the maximum weighted node as a element of independent set in a local. But the merged independent nodes with less weighted nodes have more weights than maximum weighted node are frequently occur. In this case, existing algorithm fails to get the optimal solution. To deal with these problems, this paper constructs maximum weighted independent set in local area. Application result of proposed algorithm to various networks, this algorithm can be get the optimal solution that fail to existing algorithm.

본 논문은 NP-난제로 널리 알려진 최대 가중치 독립집합 문제에 대해 다항시간으로 풀 수 있는 규칙을 제시하였다. 기존에 알려진 분산형 알고리즘은 지역에서 최대 가중치 노드를 독립집합 원소로 결정하는 방법을 적용하였다. 그러나 지역에서 최대 가중치를 갖는 노드 단독이 아닌 보다 작은 가중치들을 갖는 노드들이 병합된 독립집합이 최대 가중치를 갖는 경우가 보다 빈번히 발생하여 기존에 알려진 방법으로는 최적 해를 구하지 못할 수도 있다. 이러한 문제점을 해결하기 위해, 본 논문에서는 지역에서 최대 가중치를 갖는 독립집합을 형성하는 방법을 제안하였다. 제안된 알고리즘을 다양한 망들에 적용한 결과, 기존에 알려진 알고리즘으로 구하지 못한 최적 해를 구할 수 있었다.

Ⅰ. 서론

노드(node)들에 의해 자율적으로 구성되는 기반 구조 없는 네트워크인 모바일 에드혹 망(mobile ad hoc network, MANET)은 망의 연결 형태가 동적으로 빠르게 변화되는 특징을 갖고 있어 집단화(clustering), 기간망(backbone) 형성과 같은 문제가 주요한 이슈로 제기되고 있다.^[1] MANET의 위상 제어 모델은 무방향 그래프 G=(V,E)에서 인접하지 않은 노드들로 구성된 독립집합들 중 최대 가중치 독립집합 문제(maximal weighted independent set problem, MWISP)를 풀어야만 한다.^[1] Wang과 Bohacek^[2]는 망의 유틸리티 또는 처리량을 극대화시키기 위해서는 MWIS 문제를 풀어야 한다고 제시하고 있다.

무선통신망의 어느 한 노드에서 동시통신(broadcast) 으로 송신된 메시지는 그 노드에 이웃하는 모든 노드들까지만 전송되는 특성을 가지며, 각 노드의 처리량을 중앙에서 관리나 통제를 할 수 없다. 즉, 망의 모든 노드들이 가지고 있는 처리량(가중치) 정보는 해당 노드의 인접한 노드들끼리만 공유할 수 있어 중앙집중형이 아닌 분산형으로 처리해야만 한다.^[3] 따라서 모든 노드의 가중치가 1인 경우, 모든 노드의 정보를 알고 있는 중앙집중형으로 최대 독립집합을 구하는 Lee^[4-6]의 알고리즘은 적용할 수 없다.

무선통신망을 두 정점 간 간선을 이웃하는 정점 간에 간섭으로 표현한 충돌 그래프(conflict graph)로 표현하면, 연결되지 않은 정점들의 집합인 독립집합은 데이터를 동시에 전송할 수 있다. 따라서 이 경우 어느 한 시점에서 전송할 수 있는 최대의 데이터 통신량(최대의 처리량)을 얻기 위해서는 MWIS를 찾아야만 한다.^[2]

MWIS 문제는 NP-난제(NP-hard)로 알려져 있어 다항시간으로 정확한 해를 구하는 알고리즘이 제안되지 않고 있으며,^[7] 이에 따라 Hifi^[8]는 메타휴리스틱의 일종인 유전자 알고리즘을 적용하기도 하였다. 그러나 휴리스틱 알고리즘으로 근사해를 구하고자, Basagni^[3], Joo et al.^[9]과 Du와 Zhang^[10]은 분산형 클러스터 형성 알고리즘을 제안하였으며, Li와 Lateki^[11]는 클러스터 응집법을 제안하였다.

본 논문에서는 MWIS 문제의 근사해가 아닌 최적 해를 분산형으로 구하는 알고리즘을 제안한다. 2장에서는 MWIS 문제에 대해 널리 알려진 Basagni^[3]의 분산형 알고리즘의 문제점을 고찰하여 본다. 3장에서는 Basagni^[3]의 분산형 알고리즘의 문제점을 해결한 MWIS의 최적해를 구할 수 있는 휴리스틱 탐욕 알고리즘을 제안하고, 4장에서는 다양한 형태의 실험 데이터들에 대해 제안된 알고리즘을 적용하여 알고리즘 적합성을 검증하여 본다.

Ⅱ. Basagni의 분산형 알고리즘의 문제점

무선통신망은 그림 1과 같이 각 노드의 통신량 가중치를 중앙에서 관리할 수 없으며, 단지 각 노드의 전송 범위와 상호 대역폭이 간섭을 받는 인접 노드들만이 이들 정보를 공유할 수 있는 형태를 갖고 있다. 따라서 이 망에서의 MWIS를 구하기 위해서는 망의 전체 노드들의 가중치를 고려한 전역적(global) 방법이 아닌, 어느 한 노드와 인접한 이웃들만을 고려한 지역(local)에서의 MWIS를 구하여야만 한다.

그림 1. 무선통신망의 간섭범위

Fig. 1. Interference range of wireless network

이에 따라 Basagni^[2]는 MWIS 문제의 해를 구하기 위해, 각 노드 v는 클러스터 우두머리(clusterhead, C_H) 또는 보통의 평범한 노드(ordinary node, O)로 구분하는 방법으로 다음과 같은 분산형 알고리즘을 제안하였다.

Step 1. 각 노드 v는 자신이 갖고 있는 가중치 W(v)메시지를 전송한다. 이 결과 통신(또는 간섭)범위 내의 인접한 노드들은 모두 W(v)메시지들을 수신한 상태가 된다.

Step 2. 근방에서 최대 가중치를 가진 노드 u(수신된 W(v)메시지들에 비해 W(u)가 최대값을 가진 경우)를 clusterhead(독립 노드, C_H)로 결정한다. 이 정보를 근방(인접)한 모든 노드들이 공유하며, 근방 노드들은 O가 된다.

Step 3. 인접한 O 노드들 간에 C_H를 송수신하여 클러스터를 결합한다.

Step 4. C_H나 O로 결정되지 않은 노드들 사이에 위의 과정을 반복 수행하여 하나의 클러스터가 형성되면, 여기서 C_H를 갖는 노드들을 MWIS로 결정한다.

Basagni^[3]의 분산형 알고리즘을 그림 2의 8개 노드를 가진 망에 적용하면 그림 3과 같이 MWIS={4,7,3}으로 가중치 합은 9+5+2=16의 결과를 얻는다.

그림 2. N₁예제 망의 MWIS

Fig. 2. MWIS for N₁ example network

그림 3. Basagni의 분산형 알고리즘

Fig. 3. Basagni’s Distributed algorithm

Basagni^[3]의 분산형 알고리즘은 Step 1에서 모든 노드들이 인접한 노드들에 가중치를 상호 전송하여 비교하는 초기 절차를 수행하여 4와 7 노드가 자신의 이웃들 중에서 가장 큰 가중치를 갖게 됨을 알아 clusterhead를 선언하는 CH 메시지를 인접한 노드들로 전송한다. 이 결과 Step 2에서는 {1,5}와 {2,6}은 ordinary node로 결정되어 JOIN(5,4), JOIN(1,4), JOIN(2,7)과 JOIN(6,7) 메시지를 전송하여 {4,1,5}, {7,2,6}의 클러스터를 형성한다. 다음으로, 1과 2 노드는 인접하여 있으므로, 인접한 클러스터가 병합되어 {4,7}의 clusterhead 집합이 형성된다. 남아있는 3과 8 노드는 이후 경쟁하여 3이 clusterhead로 결정되어, 마지막으로 {4,7,3}의 MWIS를 얻는데 성공하였다.

Basagni^[3]의 분산형 알고리즘을 요약하면, 망에서 최대 가중치를 갖는 노드를 우선하여 MWIS로 결정하는 방법으로, 어느 한 지역에서 최대 가중치를 갖는 노드가 MWIS의 원소가 되면 항상 최적해를 얻을 수 있다. 그러나 실제로 빈번히 발생하는 어느 한 지역의 최대 가중치 노드가 MWIS의 원소가 되지 못하는 경우는 MWIS의 해를 구하지 못할 수도 있다. 이것이 Basagni^[3]의 분산형 알고리즘이 갖고 있는 최대 약점으로, Basagni^[3]의 분산형 알고리즘의 반례가 존재함을 설명하기 위해 그림 4는 임의로 생성하였다.

그림 4. Basagni의 분산형 알고리즘 반례

Fig. 4. Counter example of Basagni’s distributed algorithm

Basagni^[3]의 분산형 알고리즘을 수행하면 (a)는 최적 해를 얻을 수 있는 반면에, (b)는 최적해를 얻지 못한다. 또한, 그림 2의 망을 약간 변형시킨(c)와 (d)의 2가지 경우에 대해, Basagni^[3]의 분산형 알고리즘을 적용하면 {4,7} 노드를 모두 포함하지 않아 최적 해를 얻는데 실패함을 알 수 있다. 즉, Basagni^[3]의 분산형 알고리즘은 MWIS에 최대 가중치 노드를 포함하지 않는 경우에는 최적해를 얻지 못함을 알 수 있다.

Ⅲ. 분산형 최대가중치 독립집합 알고리즘

Basagni^[3]의 분산형 알고리즘이 갖고 있는 최대 약점을 해결하기 위한 방법으로, 지역에서의 최대 가중치 노드가 아닌 최대 가중치를 갖는 독립집합을 어떻게 찾을 수 있는지가 본 장에서 제안하는 알고리즘의 핵심이다.

MWIS를 얻기 위해 본 장에서는 주어진 망의 최대 가중치를 갖는 노드가 아닌 최대 가중치 독립집합을 결정하는 방법을 적용한다. 이 방법을 분산형 최대 가중치 독립집합 알고리즘(distributed maximum weight independent set algorithm, DMWISA)이라 하며, 다음과 같이 수행된다.

Step 1. 각 노드 v는 자신의 W(v) 가중치를 N_G(v)로 송신한다. 각 노드 u는 수신된 |W(v)|를 계산하여 차수 deg(u)=|W(v)|를 결정한다.

Step 2. 분산형 최대 가중치 독립 노드인 clusterhead (C_H) 결정

• deg(u)=1 노드 u :  W(u)= max W이면 u를 C_H로 결정한다. 그렇지 않으면 M(u) 메시지를 송신한다.

• deg(u)=2 노드 u : W(u)= maxW이면 u를 C_H로 결정한다.

• deg(u) ≥3 노드 u : deg(u) ≤ 2가 될 때까지 다음 과정을 반복 수행하고, maxW인 노드 집합을 C_H로 결정한다.

(1) |M(v)|≥2 : M인 단 노드들을 병합한 노드 집합 v의 W(v)를 계산한다.

(2) |M(v)|=1: M노드와 M(v)를 제외한 maxM(v)를 병합하여 노드 집합 v의 M(v)를 계산한다.

(3) |M(v)|=0: maxM(v)들을 병합한 노드 집합 v의 W(v)를 계산한다.

Step 3. C_H로 결정된 노드 v는 C_H(v)를 전송한다. C_H(v)를 수신한 u 노드들은 ordinary node(O)로 결정되고, O(u)를 전송한다.

Step 4. C_H와 O가 결정되지 않은 노드들이 존재하면, O(u) 노드의 W(u)를 삭제하고, Step 2로 복귀한다. C_H와 O가 결정되지 않은 노드들이 더 이상 존재하지 않으면 C_H 노드들을 MWIS로 결정한다.

제안된 DMWISA를 그림 2의 예제 망에 적용한 결과는 그림 5와 같다. DMWISA는 4와 7 노드는 deg(u)=2이면서 W(u)=maxW로 C_H로 결정되었으며, deg(u)≥3 인 3 노드는 8 노드로부터 M(8) 메시지를 받아 8과 인접한 최대 가중치 노드 1을 병합하였다. 4 노드가 C_H(4)메시지를 전송하면 5,9, {1,6} 노드가 O로 설정되며, 7 노드가 C_H(4)메시지를 전송하면 2,6 노드가 O로 설정된다. 3 노드는 {1,8}과 2 노드가 O로 설정된 메시지를 수신 받아 자신이 최대 가중치를 갖는 C_H(3)으로 결정된다. 결국, MWIS는 16{4,7,3}으로 결정됨을 알 수 있다.

그림 5. N₁ 예제 망의 DMWISA로 구한 MWIS

Fig. 5. MWIS of DMWISA for N₁ example network

Basagni^[3]의 분산형 알고리즘으로 최적해를 얻지 못한 그림 4의 2가지 경우에 대해, DMWISA로 해를 구한 결과는 그림 6에 제시되어 있다. N₂와 N₃망 모두 동일한 21{5,9,3,7}의 MWIS를 구하였다. 반면에, Basagni^[3]의 분산형 알고리즘은 {4,9,1,5}에서 최대 가중치를 갖는 4 노드가 반드시 MWIS가 되는 clusterhead(C_H)로 되어 16{4,7,3}으로 최적해를 얻지 못한다.

그림 6. Basagni의 분산형 알고리즘 반례에 대해 DMWISA로 구한 MWIS

Fig. 6. MWIS of DMWISA for Basagni’s distributed algorithm

Ⅳ. 알고리즘 적용 및 결과 분석

본 장에서는 그림 7의 4개 데이터에 대해 제안된 DMWISA의 적합성을 검증하여 본다. (a)의 N₄와 (d)의 N₇망은 Sariel^[12]에서, (b)의 N₅망은 Erciyes et al.^[1]에서, (c)의 N₆망은 Chen et al.^[13]에서 인용되었다. Basagni^[3]의 MWIS 알고리즘을 적용하면 N₆와 N₇망에 대해서는 최적해를 얻지 못할 수도 있다.

그림 7. 실험 데이터

Fig. 7. Experimental data

그림 7의 데이터들에 대해 DMWISA로 MWIS를 구한 결과는 그림 8에 제시되어 있다. 여기서는 4개 데이터 모두에서 최적해를 얻을 수 있음을 보였다.

그림 8. 실험데이터의 DMWISA로 구한 MWIS

Fig. 8. MWIS of DMWISA for experimental data

Ⅴ. 결론

본 논문에서는 무선통신망에서의 MWIS를 분산형으로 최적해를 구하는 알고리즘을 제안하였다. 기존에 알려진 Basagni^[3]의 분산형 알고리즘은 지역에서 최대 가중치를 갖는 노드를 MWIS의 독립집합 원소로 결정함으로 인해 최대 가중치 노드가 아닌 보다 작은 가중치들을 갖는 노드들의 결합으로 최대 가중치 노드보다 큰 가중치를 갖는 경우는 최적해를 얻지 못하는 단점을 갖고 있었다.

본 논문에서는 Basagni^[3]의 분산형 알고리즘이 갖고 있는 이러한 약점을 해결하는 방법으로, 지역에서의 인접하지 않은 노드들인 독립집합을 형성한 이후, 점, 선 또는 K₃^-완전 그래프가 형성되면 이들 중에서 최대 가중치 독립집합을 결정하는 방법을 제안하였다.

제안된 알고리즘을 다양한 형태의 망에 적용한 결과 Basagni^[3]의 분산형 알고리즘으로 얻지 못한 최적해를 구할 수 있었다.